Serdar Hocam sorunuzu yeni gördüm. Sistemde bir arıza nedeniyle mesajınız otomatik olarak bildirilmemiş.
Bir $z=f(x, y)$ fonksiyonunun $P(x_0, y_0)$ noktası ve $v$ vektörü doğrultusundaki Directional derivative değeri, fonksiyonunun bu noktadaki gradiant vektörü ile $v$ ile aynı yönlü birim vektörün iç çarpımına eşittir. Gradiant vektörü,
\[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}} \cdot i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}} \cdot j\]
formülü ile hesaplanır.
Buna göre,

1. a) Sorudaki gradiant vektörü, \[{\left( {\nabla f} \right)_{|(2,1)}} = {e^{4y}}\overrightarrow i + 4x{e^{4y}}\overrightarrow j = \left( {{e^4},8{e^4}} \right)\] olur. Verilen $\overrightarrow v = \left( {3,4} \right)$ ile aynı yönlü birim vektörü bulmak için bu vektörü uzunluğuna böleriz, yani 5 e, \[\overrightarrow u = \left( {\frac{3}{5},\frac{4}{5}} \right)\] olur.
O halde istenen directional derivative,
\[{\left( {{D_u}f} \right)_P} = \left( {{e^4},8{e^4}} \right) \cdot \left( {\frac{3}{5},\frac{4}{5}} \right) = 7{e^4}\] bulunur.

b) Bu şıkkı da benzer biçimde yapabilirsiniz. Ancak soruda $\theta$ ile verilen birim vektör \[\overrightarrow u = \left( {\cos \frac{{5\pi }}{4},\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right) = \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\] olacaktır.

c) Bunda da üç boyutta hesaplama yapılacaktır. Gradiant vektörü \[\nabla f = \frac{{\partial f}}{{\partial x}}i + \frac{{\partial f}}{{\partial y}}j + \frac{{\partial f}}{{\partial z}}k\] olacaktır. Gerisi aynı şekilde yapılacak.

2. İç çarpım, en büyük değerini vektörler arasındaki açının ölçüsü 0 radyan (derece)olduğunda; en küçük değerini ise $\pi$ (180 derece) olduğunda alır.

a) Buna göre soruda verilen değerlerle bulacağım gradiant vektörü ile u vektörü arasındaki açının ölçüsü 180 derece, yani vektörler zıt yönlü olmalı.
\[{\left( {\nabla f} \right)_{|(4,9)}} = - 4x\overrightarrow i - 6y\overrightarrow j = \left( { - 16, - 56} \right)\] bulunur. Buna göre, \[\overrightarrow u = - \frac{{\nabla f}}{{\left| {\nabla f} \right|}} = \left( {\frac{4}{{\sqrt {97} }},\frac{9}{{\sqrt {97} }}} \right)\] elde edilir.

b) Vektörlerin iç çarpımının 0 olması gerekir. Buna göre de vektörler birbirine dik olmalıdır.
a şıkkında bulduğumuz vektöre dik bir vektör yazmamız yeterlidir. Bu da \[\overrightarrow n = \left( { - \frac{9}{{\sqrt {97} }},\frac{4}{{\sqrt {97} }}} \right)\] olur.

3. Bu soruda P(x, y) noktasındaki sıcaklığın, bu noktanın orijine olan uzaklığı ile ters orantılı olduğu ve P(3, 4) için bunun 100 olduğu bilgisi verilmiş. Buna göre, T(x, y) sıcaklık fonksiyonu
\[T\left( {x,y} \right) = \frac{{500}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\] olur. a şıkkı 1. sorudaki açıklamalara göre, b şıkkı da 2. sorunun ilk açıklamasına göre yapılır.

Diğer soruları okuyamıyorum. Umarım bunlar açıklayıcı olmuştur. Gerçi muhtemelen geç cevap vermiş oluyorum ama olsun...