Anladığım kadarıyla soru:
\(f(x) \ge 0\), \(f'(0) = f(0) = 0\) ve \(f''(x) - f'(x) = {e^2}\) olduğuna göre, \(f(-1)\) kaçtır?
Çözüm:
\[\int {\left( {f''(x) - f'(x)} \right)dx} = {e^2}x + c\]
\[f'(x) - f(x) = {e^2}x + c\] dir. \(x=0\) alınırsa, \[f'(0) - f(0) = c \Rightarrow c = 0\] olur. Demek ki, \[f'(x) - f(x) = {e^2}x\] dir. Birinci dereceden lineer diferansiyel denklemi elde edilmiş olur. Bunun çözümünde, \[f(x) = {c_1} \cdot {e^x} - {e^2}x - {e^2}\] olur. \(f'(0) = 0\) yerine yazılırsa, \[{c_1} = {e^2}\] olur. O halde, \[f(x) = {e^2}({e^x} - x - 1)\] dir. Böylece, \[f( - 1) = e\] bulunur.
