Genel konik denklemi $a{x^2} + bxy + c{y^2} + dx + ey + f = 0$ biçimindedir. Eğer bu denklemin her iki tarafını da $a$ ya bölersek bu denklem, \[{x^2} + b'xy + c'{y^2} + d'x + e'y + f' = 0\] biçimini alır. Böylece 6 terim içeren denklemde bilinmeyen katsayı adedi 5 adet olur $(\,b',\,c',\,d',\,e',\,f')$ . O halde $x$ ve $y$ yerine 5 farklı ikili koyarak elde edilecek olan 5 denklemin ortak çözümü bu bilinmeyenleri bulmak için yeterli olacaktır. Bu nedenle düzlemde 5 nokta bir konik denklemini yazmak için yeterlidir. Yani, düzlemde 5 nokta tek bir konik belirtecektir. Fakat bu bilinmeyenleri 5 denklemle çözmek zor olacağından, daha farklı bir yaklaşım sunulabilir. Sorumuzda öncelikle $A$ ile $B$; $C$ ile $D$; $A$ ile $C$ ve $B$ ile $D$ noktalarından geçen doğru denklemlerini bulalım.
\[AB:x - y + 1 = 0 \quad \quad \quad CD:x - 1 = 0\] \[AC:2x + y - 1 = 0 \quad \quad \quad BD:x - 2y + 1 = 0\] olur. O halde $A$, $B$, $C$ ve $D$ noktalarını sağlayan \[ABCD:\left( {x - y + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) = 0\] \[ACBD:\left( {2x + y - 1} \right) \cdot \left( {x - 2y + 1} \right) = 0\] denklemlerini elde ederiz.
Bu durumda bu dört noktadan geçen koniklerin genel denklemi (bir nevi konik demeti): \[\left( {x - y + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) + k \cdot \left( {2x + y - 1} \right) \cdot \left( {x - 2y + 1} \right) = 0 \quad (k \in R)\] ile ifade edilebilir. Aradığımız konik aynı zamanda $E$ noktasından da geçtiği için, bu son denklemi sağlamalıdır. Bu nedenle $E$ noktasının koordinatları yerine yazılırsa $k =-\dfrac{1}{3}$ bulunur. O halde bu beş noktadan geçen koniğin denklemi \[\left( {x - y + 1} \right) \cdot \left( {x - 1} \right) - \frac{1}{3} \cdot \left( {2x + y - 1} \right) \cdot \left( {x - 2y + 1} \right) = 0\] olur. Her iki tarafı 3 ile çarpıp gerekli işlemleri tamamlarsak, konik denklemini \[{x^2} + 2{y^2} - x - 2 = 0\] olarak elde ederiz. Biraz düzenlenirse, merkezi $M\left( {\dfrac{1}{2},0} \right)$ olan \[4{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + 8{y^2} = 9\] elipsini elde ederiz.