Watewatik

2.1.4 Noktanın Doğruya Uzaklığı

Bu dersimizde bir noktanın bir doğruya olan uzaklığını hesaplayacağız. Burada uzaklıktan kasıt en kısa uzaklık olacaktır.

Düzlemin Normal Vektörü

\(R^3\) te şekildeki gibi bir \(d\) doğrusu ve dışında bir \(P\) noktası verilsin. \(P\) noktasından \(d\) doğrusuna çizilen dik doğru parçası doğruyu \(H\) noktasında kessin. Bu durumda noktanın doğruya olan uzaklığı \(|PH|\) olacaktır.

Doğru üzerinde bir \(A\) noktası alalım ve \(\overrightarrow{AP}\) nü çizelim. Doğrunun doğrultu vektörü \(\overrightarrow{u}\) ile \(\overrightarrow{AP}\) nün yaptığı açının ölçüsü \(\theta\) olsun. Bu durumda

$$||\overrightarrow{PH}||=||\overrightarrow{AP}||.sin\theta \quad (1)$$ olur.

Dış çarpım konusu hatırlanırsa

$$||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||=||\overrightarrow{AP}||.||\overrightarrow{u}||.sin\theta$$ olduğundan

$$sin\theta = \dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{AP}||.||\overrightarrow{u}||}$$ olacaktır.

Bunu \((1)\) de yerine yazarsak, \(P\) noktasının \(d\) doğrusuna olan uzaklığının

$$||\overrightarrow{PH}||=\dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}$$ formülüyle bulunabileceğini görürüz.

Hazır elimizde güzel bir şekil varken biraz daha ötesini düşünelim ve doğrunun \(P\) noktasına en yakın noktasının yani \(H\) noktasının koordinatlarını bulalım. Böyle bir girişle sanki zor birşey yapacakmışız havası vermiş olabilirim ama esasında çok basit bir biçimde bulabiliriz:

\(\overrightarrow{AP}\) nün \(\overrightarrow{u}\) üzerine izdüşüm vektörü \(\overrightarrow{AH}\) olacağından ve \(\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{H}-\overrightarrow{A}\) olduğundan

$$H=A+\overrightarrow{AH}$$ olacaktır. Demek ki tek bulmamız gereken izdüşüm vektörüdür ki biz bunu daha önceki derslerimizde vermiştik. Bu bilgiyi hatırlar ve yerine yazarsak

$$H=A+\dfrac{<\overrightarrow{AP},\overrightarrow{u}>}{||\overrightarrow{u}||^2}.\overrightarrow{u}$$ elde edilir.

Aşağıdaki şekilde 3 boyutlu görüntüleyebilirsiniz.

Örnek 1

\(R^3\) te \(P(2,1,1)\) noktasının \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-3}{2}\) doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm

\(P\) noktası doğru denklemini sağlamadığı için doğru dışındadır. Doğrunun doğrultu vektörü

$$\overrightarrow{u}=(2,1,2)$$ dir. Doğruya ait bir \(A(x,y,z)\) noktası için doğrudaki eşitlikleri \(0\) yapan değerleri alırsak

$$A(1,-1,3)$$ olur. Böylece

$$\overrightarrow{AP}=(1,2,-2)$$ olur. Uzaklık hesabı için \(\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}\) gerektiğinden

$$\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\1 &2  &-2 \\ 2 &1  &2 \end{vmatrix}=(6,-6,-3)$$ olur. O halde uzaklığa \(d\) dersek

$$d=\dfrac{||\overrightarrow{AP}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}=\dfrac{\sqrt{6^2+(-6)^2+(-3)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}}=3$$ bulunur.

Örnek 2

\(R^3\) te \(O(0,0,0)\) başlangıç noktasının \(3x+2z=6;\) \(y=2\) doğrusuna olan uzaklığını ve doğrunun bu noktaya en yakın olan noktasını bulunuz.

Çözüm

Öncelikle \(O\) noktasının doğruya olan uzaklığını bulalım.

Doğrunun doğrultu vektörünü, verilen denklem yapısında hemen görmek mümkün değil. Biraz daha aşina olduğumuz düzene getirmek için birkaç işlem yapalım. Öncelikle verilen \(3x+2z=6\) eşitliğinin her iki tarafını da \(6\) ya bölelim.

$$\dfrac{x}{2}+\dfrac{z}{3}=1$$ olur. Şimdi her iki taraftan da \(\dfrac{z}{3}\) çıkarıp eşitliğin sağ tarafında payda eşitleyelim:

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{z-3}{-3}$$ olur. O halde doğrunun denklemini

$$\dfrac{x}{2}=\dfrac{z-3}{-3};y=2$$ biçiminde yazabiliriz. Demek ki doğrunun doğrultu vektörü

$$\overrightarrow{u}=(2,0,-3)$$ olur. Doğruya ait bir \(A(x,y,z)\) noktası için doğrudaki eşitlliği \(0\) yapan değerleri alırsak

$$A(0,2,3)$$ olur. Böylece

$$\overrightarrow{AO}=(0,-2,-3)$$ olur. Uzaklık hesabı için \(\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}\) gerektiğinden

$$\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\0 &-2  &-3 \\ 2 &0  &-3 \end{vmatrix}=(-6,-6,-4)$$ olur. O halde uzaklığa \(d\) dersek

$$d=\dfrac{||\overrightarrow{AO}\times \overrightarrow{u}||}{||\overrightarrow{u}||}=\dfrac{\sqrt{(-6)^2+(-6)^2+(-4)^2}}{\sqrt{2^2+0+(-3)^2}}=\sqrt{\dfrac{88}{13}}$$ bulunur.

Doğrunun \(O\) noktasına en yakın noktası şekildeki gibi \(H\) olsun. \(\overrightarrow{AO}\) nün \(\overrightarrow{u}\) üzerine iz düşüm vektörü \(\overrightarrow{AH}\) olacaktır. O halde

$$\overrightarrow{AH}=\dfrac{<\overrightarrow{AO},\overrightarrow{u}>}{||\overrightarrow{u}||^2}.\overrightarrow{u}=\dfrac{9}{13}.\overrightarrow{u}=(\dfrac{18}{13},0,\dfrac{-27}{13})$$ olur. Böylece

$$H=A+\overrightarrow{AH}=(0,2,3)+(\dfrac{18}{13},0,\dfrac{-27}{13})=(\dfrac{18}{13},2,\dfrac{12}{13})$$ bulunur.

Örnek 3

\(R^3\) te şekildeki gibi ayrıtları eksenler üzerinde olan bir dikdörtgenler prizması veriliyor. Prizmanın \(C\) köşe noktasının \(A\) ve \(B\) köşelerinden geçen \(d\) doğrusuna olan uzaklığını bulunuz.

Çözüm 1

Öncelikle doğrunun doğrultu vektörünü yazalım.

\(A(2,0,0)\) ve \(B(0,4,4)\) olacağından doğrunun doğrultu vektörü

$$\overrightarrow{AB}=B-A=(-2,4,4)$$ alınabilir.

Ayrıca şekildeki gibi \(C(2,0,4)\) noktasının doğruya olan uzaklığı \(|CH|\) olacaktır. 

$$|CH|=\dfrac{||\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}||}{||\overrightarrow{AB}||}$$ olacağından öncelikle

$$\overrightarrow{AC}=C-A=(0,0,4)$$ olur.

$$\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}\overrightarrow{e_1} &\overrightarrow{e_2}&\overrightarrow{e_3} \\0 &0  &4 \\ -2 &4  &4 \end{vmatrix}=(-16,-8,0)$$ olur. 

O halde

$$|CH|=\dfrac{||\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AB}||}{||\overrightarrow{AB}||}=\dfrac{\sqrt{(-16)^2+(-8)^2+0}}{\sqrt{(-2)^2+4^2+4^2}}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$$ bulunur.

Çözüm 2

Şekildeki gibi \([CB]\) çizilirse, \([AC]\), \((CEBD)\) düzlemine dik olduğu için bu düzlemdeki \([CB]\) na da dik olacaktır. O halde \(ACB\) bir dik üçgendir. \(|CD|=2\) ve \(|DB|=4\) olduğundan \(CDB\) dik üçgeninde \(|CB|=2\sqrt{5}\) bulunur. Benzer biçimde \(|AC|=4\) olduğundan \(ACB\) dik üçgeninde \(|AB|=6\) bulunur. O halde alan eşitliğinden

$$|AC|.|CB|=|AB|.|CH|$$ olacağından

$$|CH|=\dfrac{|AC|.|CB|}{|AB|}=\dfrac{4.2\sqrt{5}}{6}=\dfrac{4\sqrt{5}}{3}$$ bulunur.

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(11 oy)
2 yorum
  • Barış Demir

    Uzayda, verilen bir doğruya eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri dairesel silindirik yüzey belirtir.
    Yani pek birşey yapamazsınız, sadece bir dairesel silindir belirten bir denklem bulursunuz.

    Barış Demir Yorum Linki
  • Ruşat

    Eğer nokta ile doğru arasındaki uzaklık verilip nokta istenirse ne yapacağız ?

    Ruşat Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon