Watewatik

2.1.3 Uzayda Düzlem Denklemleri 1

Şekildeki gibi \(XYZ\) koordinat sisteminde bir \(A\) noktası ile lineer bağımsız \(\overrightarrow{u}\) ve \(\overrightarrow{v}\) verilsin. Verilen bu vektörleri \(A\) noktasına taşıyalım. Bu durumda \(A\) noktasından geçen ve bu vektörlere paralel olan tek bir düzlem vardır. Bu düzleme \(E\) düzlemi diyelim. Düzlemin rastgele bir noktası \(P\) olsun. Bu durumda \(\overrightarrow{AP}\) nü düzlemin lineer bağımsız \(\overrightarrow{u}\) ve \(\overrightarrow{v}\) türünden ifade edebiliriz. Yani bir \(k_1 \in R\)  ve bir \(k_2 \in R\)  için $$\overrightarrow{AP}=k_1.\overrightarrow{u}+k_2.\overrightarrow{v}$$ olacaktır.

Şekildeki \(P\) noktasını hareket ettirerek bu durumu inceleyebilirsiniz.

Bu denklemi biraz daha açarsak:  $$\overrightarrow{P}-\overrightarrow{A}=k_1.\overrightarrow{u}+k_2.\overrightarrow{v}$$   yani 
$$\overrightarrow{P}=\overrightarrow{A}+k_1.\overrightarrow{u}+k_2.\overrightarrow{v}$$
elde edilir. Bu eşitliğe \(k_1\) ve \(k_2\) parametrelerinden dolayı \(E\) düzleminin parametrik denklemi denir. \(\overrightarrow{u}\) ve \(\overrightarrow{v}\) ne de düzlemin doğrultu vektörleri denir.

Örnek 1

\(R^3\) te \(A(1,-3,0)\) noktasından geçen ve doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{a}=(2,-1,3)\) ile \(\overrightarrow{b}=(-1,0,4)\) olan düzlemin parametrik denklemini bulalım:

 

Çözüm

Basit bir örnekle başladık

Parametrik denklem:$$(x,y,z)=(1,-3,0)+k_1.(2,-1,3)+k_2.(-1,0,4)$$ olur.

Biz bir adım ötesine geçelim ve denklemdeki \(k_1\) ve \(k_2\) parametrelerini koordinatlara dağıtarak \(x\), \(y\) ve \(z\) yi bulalım:

$$x=1+2k_1-k_2$$

$$y=-3-k_1$$

$$z=3k_1+4k_2$$

olur. Dikkat ederseniz \(k_1=-y-3\) dir. Ayrıca \(x\) i 4 ile çarpıp \(z\) ile toplarsak \(4x+z=4+11k_1\) elde edilir. Bu iki eşitliği beraber düşünürsek

$$4x+z=4+11(-y-3)$$

$$4x+11y+z=-29$$

olur. Bu denkleme düzlemin kapalı denklemi denir. Zahmetli bir biçimde bulduğumuz bu denklemi bir sonraki yazımızda daha pratik olarak elde edeceğiz.

Soruda geçen düzlemin çizimini aşağıdaki videoda izleyebilirsiniz.

Video burada görüntülenecektir.

 

Örnek 2

\(R^3\) te \(A(5,-3,4)\) noktasından geçen ve doğrultu vektörleri \(\overrightarrow{a}=(-3,2,0)\) ile \(\overrightarrow{b}=(1,4,3)\) olan düzlemin bir noktası \(P(-2,m,1)\) olduğuna göre \(m\) gerçek sayısının değerini bulunuz.

Çözüm

\(k_1 \in R\) ve \(k_2 \in R\) için düzlemin parametrik denklem:$$(x,y,z)=(5,-3,4)+k_1.(-3,2,0)+k_2.(1,4,3)$$ olur.

\(P(-2,m,1)\) noktası düzleme ait olduğuna göre

$$(-2,m,1)=(5,-3,4)+k_1.(-3,2,0)+k_2.(1,4,3)$$ olmalıdır. Bu durumda

$$-2=5-3k_1+k_2$$

$$m=-3+2k_1+4k_2$$

$$1=4+3k_2$$

olur. Son eşitlikten \(k_2=-1\) bulunur ve ilk eşitlikte yerine yazılırsa \(k_1=2\) bulunur. Böylece

$$m=-3+2.2+4.(-1)=-3$$ bulunur.

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(4 oy)
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon