Watewatik

2.1.12 Aykırı iki doğru (uzaklık)

Müfredat dahilinde olmasada bu konuya değinmek istedim. Uzayda verilen aykırı iki doğru arasındaki en kısa uzaklık nasıl bulunur? Denklemleri $$d_1:X=A+k_1.\overrightarrow{u_1}$$ ve $$d_2:X=B+k_2.\overrightarrow{u_2}$$ olan aykırı iki doğru verilsin. Aşağıdaki şekildeki gibi \(d_1\) doğrusunu içine alan ve \(d_2\) doğrusuna paralel olan \(E\) düzlemini çizelim.

aykiri-dogrular

Şekilden de anlaşılacağı üzere doğrular arasındaki en kısa uzaklık \(d_2\) doğrusu ile bu doğrunun \(E\) düzlemindeki izdüşümü olan \({d_2}'\) doğrusu arasındaki uzaklık olacaktır. \(d_1\) ve \({d_2}'\) doğrusunun kesişimine \(C\) dersek, şekilde bu uzaklık \(|CD|\) olarak görülmektedir. Tabii bu noktaları bulmak hiç kolay değildir. Bu nedenle aşağıdaki şekle bakalım.

aykiri-uzaklik 2

Şekilden görüleceği üzere aslında \(C\) ve \(D\) arasındaki uzaklık, \(\overrightarrow{AB}\) nün düzlemin \(\overrightarrow{N}\) normal vektörü üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğuna eşittir. Yani \(|CD|=|AH|\) dır. \(\overrightarrow{AB}\) nü rahatlıkla bulabiliriz, fakat \(\overrightarrow{N}\) nasıl bulunabilir? Aşağıdaki şekil dikkatli incelenirse 

aykiri uzaklik 3

düzlemin normal vektörünün \(\overrightarrow{N}=\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}\) olduğu görülebilir.

O halde aykırı iki doğru arasındaki en kısa uzaklık $$|AH|=\dfrac{\left |<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{N}>  \right |}{||\overrightarrow{N}||}=\dfrac{\left |<\overrightarrow{AB},\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}>  \right |}{||\overrightarrow{u_1}\times\overrightarrow{u_2}||}$$ olur.

Yukarıdaki durumları özetleyen videoyu ve hemen altında videoda geçen şeklin Cabri versiyonunu inceleyebilirsiniz!

 

Video burada görüntülenecektir.

 

Şeklin Cabri versiyonu için tıklayın!

 

Biraz daha ötesini düşünelim ve fazla detaya girmeden \(C\) ve \(D\) noktalarının nasıl bulunacağını yazalım.

aykiri uzaklik 4

Şekli incelerseniz \(\overrightarrow{CB}\) ile \(\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{u_2}\) dik olacağından ve \(C=A+k_1\overrightarrow{u_1}\) olduğundan $$<B-A-k_1\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{u_2}>=0$$ \[ \Rightarrow  < \overrightarrow {AB}  - {k_1}\overrightarrow {{u_1}}\; ,\; \overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  >  = 0\] denklemiyle \(k_1\) parametrisi bulunarak \(C\) noktası elde edilebilir. Benzer biçimde \(D\) noktası da $$<A-B-k_2\overrightarrow{u_2},\overrightarrow{N}\times\overrightarrow{u_1}>=0$$ \[ \Rightarrow  < \overrightarrow {BA}  - {k_2}\overrightarrow {{u_2}}\; ,\; \overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_1}}  >  = 0\] denkleminden elde edilen \(k_2\) parametresiyle elde edilebilir.

Örnek 1

\({d_1}:\dfrac{{x - 1}}{2}=y + 1=- z\) ve \({d_2}:\dfrac{{x + 1}}{3}=- y=\dfrac{{z - 1}}{2}\) doğruları arasındaki en kısa mesafe kaç birimdir?

Çözüm

\(d_1\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(A(1,-1,0)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_1}}  = (2,1, - 1)\); \(d_2\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(B(-1,0,1)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_2}}  = (3, - 1,2)\) dir. Bu durumda \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2,1,1)\) olacaktır. Bu üç vektörün belirttiği determinantın değeri \(0\) dan farklı olduğundan lineer bağımsızdırlar. Bu nedenle doğrular aykırı doğrulardır (Bir önceki derste bu konu işlendi). Öncelikle \[\overrightarrow {{u_1}}  \times \overrightarrow {{u_2}}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {{e_1}} }&{\overrightarrow {{e_2}} }&{\overrightarrow {{e_3}} }\\2&1&{ - 1}\\3&{ - 1}&2\end{array}} \right| = (1, - 7, - 5)\] dir. O halde iki doğru arasındaki en kısa uzaklık \[\begin{array}{l}d({d_1},{d_2}) = \frac{{| < \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{u_1}}  \times \overrightarrow {{u_2}}  > |}}{{||\overrightarrow {{u_1}}  \times \overrightarrow {{u_2}} ||}}\\\\ = \frac{{| - 2.1 + 1.( - 7) + 1.( - 5)|}}{{\sqrt {{1^2} + {7^2} + {5^2}} }}\\ = \frac{{14}}{{5\sqrt 3 }}\end{array}\] bulunur.

Örnek 2

\({d_1}:x + 2y = 2;\;z = 0\) ve \({d_2}:x = 2z;\;y = 0\) doğrularının birbirine en yakın olan noktalarını bulunuz.

Çözüm

\(d_1\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(A(0,1,0)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_1}}  = (-2,1,0)\);

\(d_2\) doğrusunun geçtiği sabit nokta \(B(0,0,0)\) ve doğrultu vektörü \(\overrightarrow {{u_2}}  = (2,0,1)\) dir.

Ayrıca \(\overrightarrow {AB}  = (0, - 1,0)\) ve \(\overrightarrow N  = \overrightarrow {{u_1}}  \times \overrightarrow {{u_2}}  = (1,2, - 2)\) dir. Konu anlatımında olduğu gibi \(d_1\) doğrusunun \(d_2\) doğrusuna en yakın noktası \(C\) ve \(d_2\) doğrusunun \(d_1\) doğrusuna en yakın noktası \(D\) olsun. İki vektöre daha ihtiyacımız var: \[\overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_1}}  = (2,4,5)\] ve \[\overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  = (2, - 5, - 4)\] olur.

O halde bir \(k\in R\) için \[\begin{array}{l} < \overrightarrow {AB}  - k\overrightarrow {{u_1}}\; ,\;\overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_2}}  >  = 0\\ \Rightarrow k =  - \dfrac{5}{9}\end{array}\] bulunur. Böylece \[C = A + k\overrightarrow {{u_1}}  = (0,1,0) - \dfrac{5}{9}( - 2,1,0) = \left( {\dfrac{{10}}{9},\dfrac{4}{9},0} \right)\] olur. 

Benzer biçimde bir \(m\in R\) için \[\begin{array}{l} < \overrightarrow {BA}  - m\overrightarrow {{u_2}}\; ,\;\overrightarrow N  \times \overrightarrow {{u_1}}  >  = 0\\ \Rightarrow m =  \dfrac{4}{9}\end{array}\] bulunur. Böylece \[D = B + m\overrightarrow {{u_2}}  = (0,0,0) + \dfrac{4}{9}( 2,0,1) = \left( {\dfrac{{8}}{9},0,\dfrac{4}{9},} \right)\] olur.

Video burada görüntülenecektir.
Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(3 oy)
Bu kategoriden diğerleri: « 2.1.11 İki doğrunun durumları
5 yorum
  • rukiye aygün

    emeğinize sağlık...çok güzel çalışmala...teşekkür ederiz..

    rukiye aygün Yorum Linki
  • Dilek

    bilgileriniz çok işime yaradı teşekkürler...

    Dilek Yorum Linki
  • Hasan ILGAZ

    Emeklerinize sağlık kıymetli Hocam.

    Hasan ILGAZ Yorum Linki
  • Deniz KARADAĞ

    Teşekkür ederim Barış Hocam. İlgimizi karşılıksız bırakmıyorsunuz.

    Deniz KARADAĞ Yorum Linki
  • Celal İşbilir

    Barış hocam teşekkür ederim,

    Celal İşbilir Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon