Watewatik

1.4.11 İzdüşüm Vektörü

Şekildeki gibi başlangıç noktaları \(P\) olan \(\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{PT}=\overrightarrow{b}\) vektörleri verilsin. \(R\in PT\) ve \([SR]\perp PT\) olacak biçimde bir \(R\) noktası alalım. Bu durumda oluşacak olan \(\overrightarrow{PR}\) ne \(\overrightarrow{a}\) nün \(\overrightarrow{b}\) üzerine izdüşüm vektörü denir. (Aşağıdaki şeklin 3 boyutlu biçimi bu sayfanın alt kısmındadır.) Dikkat ederseniz \(0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\) için (1.şekil) \(||\overrightarrow{PR}||=||\overrightarrow{a}||.cos\theta\) olurken, \(\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\) için (2.şekil) \(||\overrightarrow{PR}||=-||\overrightarrow{a}||.cos\theta\) olur. Çünkü ikinci durumda \(cos\theta<0\) olacağından \(||\overrightarrow{PR}||>0\) yapabilmek için eşitliği \(-\) ile çarpmalıyız. O halde her iki durumuda ifade edecek $$||\overrightarrow{PR}||=|||\overrightarrow{a}||.cos\theta|$$ eşitliğini yazabiliriz. Genel olarak her iki eşitlikteki \(||\overrightarrow{a}||.cos\theta\) ifadesine \(\overrightarrow{a}\) nün \(\overrightarrow{b}\) üzerine skaler izdüşümü (izdüşüm vektörünün işaretli boyu) denir. Hatırlarsak \(\overrightarrow{a}\) ve \(\overrightarrow{b}\) nün iç çarpımı $$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=||\overrightarrow{a}||.||\overrightarrow{b}||.cos\theta$$ dır. Bu eşitlikten skaler izdüşümü çekersek $$||\overrightarrow{a}||.cos\theta=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||}$$ bulunur. O halde iz düşüm vektörünün uzunluğu $$||\overrightarrow{PR}||=\left | \dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||} \right |$$ olur. \(\overrightarrow{PR}\) nün kendisini ise \(\overrightarrow{b}\) ile aynı yönlü birim vektörü skaler izdüşümle çarparak bulabiliriz. Yani $$\overrightarrow{PR}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||}.\dfrac{1}{||\overrightarrow{b}||}.\overrightarrow{b}$$ $$\Rightarrow \overrightarrow{PR}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||^2}.\overrightarrow{b}$$ bulunur.
Aşağıdaki şekilde \(S\) ve \(T\) noktlarını hareket ettirerek izdüşüm vektörünün nasıl değiştiğini görebilirsiniz.

 

Soru 1

\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(5,-4,3)\) nün \(\overrightarrow{b}=(-1,1,1)\) üzerine izdüşüm vektörünün uzunluğunu kaç birimdir?

Çözüm 1

İzdüşüm vektörü \(\overrightarrow{c}\) olsun. Bu durumda $$||\overrightarrow{c}||=\left | \dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||} \right |=\left | \dfrac{-5-4+3}{\sqrt{1+1+1}} \right |=2\sqrt{3}$$ bulunur.

 

Soru 2

\(R^3\) de \(\overrightarrow{a}=(0,-7,5)\) nün \(\overrightarrow{b}=(2,-1,1)\) üzerine izdüşüm vektörünü bulunuz.

Çözüm 2

İzdüşüm vektörü \(\overrightarrow{c}\) olsun. Bu durumda $$\overrightarrow{c}=\dfrac{<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>}{||\overrightarrow{b}||^2}.\overrightarrow{b}$$ olacağından $$\overrightarrow{c}=\dfrac{0+7+5}{6}.\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{b}=(4,-2,2)$$ bulunur.

 

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(11 oy)
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon