Watewatik

1.4.3 Lineer Bağımlılık

Düzlemde verilen \(\overrightarrow{v_1}=(a,b)\) ve \(\overrightarrow{v_2}=(c,d)\) vektörlerinin lineer bağımlı olması için yeter ve gerek şartın

$$\begin{vmatrix} a&b\\ c&d \end{vmatrix}=0$$

olduğunu veya daha özel bir biçimde 

$$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$$

olduğunu hatırlayalım.

Benzer biçimde uzayda verilen \(\overrightarrow{v_1}=(a,b,c)\) ve \(\overrightarrow{v_2}=(d,e,f)\) vektörlerinin lineer bağımlı olması

$$\frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}$$

oranına bağlıdır.

Verilen \(\overrightarrow{v_1}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{v_2}=(x_2,y_2,z_3)\) ve \(\overrightarrow{v_3}=(x_3,y_3,z_3)\) vektörlerinin lineer bağımlı olması ise

$$\begin{vmatrix}x_1 &y_1  &z_1 \\ x_2 &y_2  &z_2 \\ x_3 &y_3  &z_3 \end{vmatrix}=0$$

eşitliğine bağlıdır. Bu eşitlik sağlanmıyorsa vektörler lineer bağımsızdır.

Örnek 1

Uzayda verilen \(\overrightarrow{v}=(4,k,m)\) ve \(\overrightarrow{w}=(k,9,m+1)\) vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre k ve m değerlerini bulalım:

 

Çözüm

Tek yapmamız gereken

$$\frac{4}{k}=\frac{k}{9}=\frac{m}{m+1}$$

oranından \(k\) ve \(m\) değerlerini bulmaktır. İlk iki orandan \(k^2=36\Rightarrow k=6\) veya \(k=-6\) bulunur. \(k=6\) için \(\dfrac{4}{6}=\dfrac{m}{m+1}\Rightarrow m=2\) ve \(k=-6\) için \(\dfrac{4}{-6}=\dfrac{m}{m+1}\Rightarrow m=-\dfrac{2}{5}\) bulunur.

Örnek 2

Uzayda verilen \(\overrightarrow{v}=(2,1,-4)\), \(\overrightarrow{u}=(1,0,-1)\) ve \(\overrightarrow{w}=(x,4,1)\) vektörleri lineer bağımlı olduğuna göre \(x\) değerini bulalım:

 

Çözüm

$$\begin{vmatrix}2 &1  &-4 \\ 1 &0  &-1 \\ x &4  &1 \end{vmatrix}=0$$

olmalıdır. Bu determinant tabii ki Sarrus kuralı ile de hesaplanabilir fakat ben 1.sütunu 3.sütuna ekleyip 2.satıra göre eşçarpan yöntemiyle çözmek istiyorum:

$$\begin{vmatrix}2 &1  &-4 \\ 1 &0  &-1 \\ x &4  &1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}2 &1  &-2 \\ 1 &0  &0 \\ x &4  &x+1 \end{vmatrix}=1.(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}1 &-2 \\  4&x+1 \end{vmatrix}=-x-9$$

O halde \(-x-9=0\Rightarrow x=-9\) bulunur.

 

Soru 1

Uzayda verilen \(\overrightarrow{v}=(2,x,y)\), \(\overrightarrow{u}=(x,-y,0)\) ve \(\overrightarrow{w}=(y,2,x)\) ikişer ikişer lineer bağımsız fakat üçlü olarak lineer bağımlı olduğuna göre \(x\) hangi reel değeri alamaz?

Çözüm 1

$$\begin{vmatrix}2 &x  &y \\ x &-y  &0 \\ y &2  &x \end{vmatrix}=0$$ eşitliğinde determinantı Sarrus ile hesaplarsak \(x^3-y^3=0\Rightarrow x=y\) buluruz. Vektörler ikişerli lineer bağımsız olduğuna göre aralarında kurulacak olan oranlar eşit olmamalıdır. \(\overrightarrow{v}\) ile \(\overrightarrow{u}\) ve \(\overrightarrow{u}\) ile \(\overrightarrow{w}\) arasında bir oran olmadığı rahatlıkla görülebilir. Bu nedenle bu ikililer lineer bağımsızdır.
O halde sadece \(\overrightarrow{v}\) ile \(\overrightarrow{w}\) arasındaki orana bakmalıyız.
\(\dfrac{2}{x}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{y}{x}\) ifadesinde bulduğumuz \(y=x\) eşitliğini yerine yazalım. \(\dfrac{2}{x}=\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{x}=1\Rightarrow x=2\) olursa  \(\overrightarrow{v}\) ile \(\overrightarrow{w}\) lineer bağımlı olacaktır.
Demek ki \(x\neq 2\) dir.

 

Son Düzenlenme
Öğeyi Oyla
(12 oy)
2 yorum
  • Barış Demir

    Dersler interaktif uygulamalarla destekli olduğundan pdf versiyonları mevcut değildir. Fakat ilerleyen zamanlarda pdf biçiminde detaylı versiyonlarını vereceğim.
    Yorumunuz için teşekkür ederim.

    Barış Demir Yorum Linki
  • Atilla U.

    bu derslerin ek olarak pdf leri mevcut mudur?

    Atilla U. Yorum Linki
Yorum Ekle

Gerekli olan (*) işaretli alanlara gerekli bilgileri girdiğinizden emin olun. HTML kod izni yoktur.

Watewatik 2012 - Barış DEMİR

Üst Masaüstü Versiyon